¿Cómo diferenciar y simplificar: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Responder:

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Explicación:

Me gusta establecer el problema igual a y si no lo es ya. También ayudará a nuestro caso a reescribir el problema usando las propiedades de los logaritmos;

#y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) #

Ahora hacemos dos sustituciones para facilitar la lectura del problema;

Digamos #w = cosh (lnx) #

y #u = cosx #

ahora;

#y = ln (w) + ln (u) #

ahh, podemos trabajar con esto:)

Tomemos el derivado con respecto a x de ambos lados. (Dado que ninguna de nuestras variables son x, esta será una diferenciación implícita)

# d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) #

Bueno, sabemos que el derivado de # lnx # ser # 1 / x # y usando la regla de la cadena obtenemos;

# dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx #

Así que volvamos a #u yw # y encontrar sus derivados

# (du) / dx = d / dxcosx = -sinx #

y

# (dw) / dx = d / dxcosh (lnx) = sinh (lnx) * 1 / x # (usando la regla de la cadena)

Enchufando nuestros derivados recién encontrados, y u, y w de nuevo en # dy / dx # obtenemos;

# dy / dx = 1 / cosh (lnx) * sinh (lnx) / x + 1 / cosx * -sinx #

# dy / dx = sinh (lnx) / (xcosh (lnx)) - sinx / cosx #

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Si esto se puede simplificar aún más, no he aprendido cómo. Espero que esto haya ayudado:)