¿Diferenciar y simplificar por favor ayuda?

Responder:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Explicación:

Exprimir # x ^ tanx # como el poder de e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Usando la regla de la cadena, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # dónde # u = lnxtanx # y # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Exprimir # e ^ (lnxtanx) # como una potencia de x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Usa la regla del producto, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, dónde # u = lnx # y # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

El derivado de # tanx # es # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

El derivado de # lnx # es # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Responder:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Explicación:

Usaremos la diferenciación logarítmica, es decir, tomaremos el registro natural de ambos lados y diferenciaremos implícitamente w.r.t #X#

Dado: # y = x ^ tan (x) #

Tomar el tronco natural (# ln #) de ambos lados:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Aplicando la regla de poder del registro natural. #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Diferenciar ambos lados implícitamente w.r.t #X#

# 1 / y * dy / dx = color (azul) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Ver trabajo abajo)

¡Para diferenciar el RHS, necesitaremos usar la regla del producto!

Tenemos # d / dx tan (x) * ln (x) #

Dejar #f (x) = tan (x) # y #g (x) = ln (x) #

Así, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # y #g '(x) = 1 / x #

Por la regla del producto: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Substituyendo obtenemos:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Simplificando …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Volviendo a lo que teníamos antes:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Queremos aislar # dy / dx # así que multiplicamos ambos lados por # y #

#cancelcolor (rojo) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * color (rojo) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * color (rojo) y #

Queremos escribir todo en términos de #X# pero tenemos esto #color (rojo) y # en la forma. Usted puede recordar que #color (rojo) y # Se nos da desde el principio. #color (rojo) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #