¿Cuáles son los extremos locales de f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Responder:

#f (x) # tiene un máximo local en #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # tiene un mínimo local en #approx (3.2301, -0.2362) #

Explicación:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Aplicar la regla del producto.

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Aplicar la regla de poder.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Para extremos locales #f '(x) = 0 #

Por lo tanto, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Aplicar fórmula cuadrática.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# aprox. 3.2301 o 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Para local maximo #f '' <0 # en el punto extremo

Para mínimo local #f ''> 0 # en el punto extremo

Pruebas #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Pruebas #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Por lo tanto, #f_max approx (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

Y, #f_min approx (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # tiene un máximo local en #approx (0.1032, 15.0510) #

# y f (x) # tiene un mínimo local en #approx (3.2301, -0.2362) #

Podemos ver estos extremos locales haciendo zoom a los puntos relevantes en la gráfica de #f (x) # abajo.

gráfico {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29.02, 28.72, -6.2, 22.63}