Responder:
Por favor vea la explicación abajo.
Explicación:
La funcion es
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Las derivadas parciales son
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Dejar # (delf) / (delx) = 0 # y # (delf) / (dely) = 0 #
Entonces, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
La matriz de Hesse es
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
El determinante es
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Por lo tanto, No hay puntos de silla de montar.
#D (1,1)> 0 # y # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, hay un mínimo local en #(-3,3)#
Responder:
Mínimo local: #(-3,3)#
Explicación:
El grupo de puntos que incluye extremos y puntos de silla se encuentran cuando ambos # (delf) / (delx) (x, y) # y # (delf) / (dely) (x, y) # son iguales a cero.
Asumiendo #X# y # y # Son variables independientes:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Entonces tenemos dos ecuaciones simultáneas, que felizmente son lineales:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Desde el principio:
# y = -2x-3 #
Substituye en el segundo:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Substituye de nuevo en el primero:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Así que hay un punto donde los primeros derivados se vuelven uniformemente cero, ya sea un extremo o una silla de montar, en # (x, y) = (- 3,3) #.
Para deducir cuál, debemos calcular la matriz de segundas derivadas, la matriz Hessiana (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Así
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Todos los derivados de segundo orden son uniformemente constantes, independientemente de los valores de #X# y # y #, por lo que no necesitamos calcular específicamente los valores para el punto de interés.
NB: El orden de diferenciación no importa para funciones con segundas derivadas continuas (Teorema de Clairault, aplicación aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), y por eso esperamos que # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, como vemos en nuestro resultado específico anterior.
En este caso de dos variables, podemos deducir el tipo de punto del determinante de la arpillera, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Una forma de la prueba para administrar se da aquí:
Vemos que el determinante es #>0#, y tambien # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Así que concluimos que #(-3,3)#, el único punto de la primera derivada de cero, es un mínimo local de la función.
Como prueba de validez para una pregunta de función unidimensional, generalmente publico la gráfica, pero Socratic no tiene una función de trazado de superficie o contorno adecuada para funciones bidimensionales, por lo que puedo ver. Así que voy a sobreplotar las dos funciones #f (-3, y) # y #f (x, 3) #, que no nos caracteriza todo el dominio de la función, pero nos mostrará el mínimo entre ellos, que aparece como se espera en # y = 3 # y # x = -3 #, tomando idéntico valor de función # f = -5 # en cada caso.
Como #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
gráfica {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
