Un triángulo tiene las esquinas A, B y C ubicadas en (3, 5), (2, 9) y (4, 8), respectivamente. ¿Cuáles son los puntos finales y la longitud de la altitud que atraviesa la esquina C?

Responder:

Puntos finales #(4,8)# y #(40/17, 129/17) # y longitud # 7 / sqrt {17} #.

Explicación:

Aparentemente soy un experto en responder preguntas de dos años. Continuemos.

La altitud a través de C es la perpendicular a AB a C.

Hay algunas maneras de hacer esto. Podemos calcular la pendiente de AB como #-4,# entonces la pendiente de la perpendicular es #1/4# y podemos encontrar el encuentro de lo perpendicular a través de C y la línea a través de A y B. Probemos de otra manera.

Llamemos al pie de lo perpendicular. #F (x, y) #. Sabemos que el producto de punto del vector de dirección CF con el vector de dirección AB es cero si son perpendiculares:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Esa es una ecuación. La otra ecuación dice #F (x, y) # está en la línea a través de A y B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Se reúnen cuando

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

La longitud CF de la altitud es

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Revisemos esto calculando el área usando la fórmula del cordón y luego resolviendo la altitud. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #