¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Responder:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # tiene un mínimo local para # x = 1 # y un máximo local para # x = 3 #

Explicación:

Tenemos:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

la función se define en todos # RR # como # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Podemos identificar los puntos críticos encontrando donde la primera derivada es igual a cero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

Así que los puntos críticos son:

# x_1 = 1 # y # x_2 = 3 #

Como el denominador es siempre positivo, el signo de #f '(x) # Es lo opuesto al signo del numerador. # (x ^ 2-4x + 3) #

Ahora sabemos que un polinomio de segundo orden con coeficiente principal positivo es positivo fuera del intervalo comprendido entre las raíces y negativo en el intervalo entre las raíces, de modo que:

#f '(x) <0 # para #x en (-oo, 1) # y #x en (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # para #x en (1,3) #

Tenemos entonces que #f (x) # está disminuyendo en # (- oo, 1) #, aumentando en #(1,3)#, y otra vez disminuyendo en # (3, + oo) #, así que eso # x_1 = 1 # debe ser un mínimo local y # x_2 = 3 # debe ser un máximo local.

gráfica {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}