¿Cuáles son los extremos locales de f (x) = xlnx-xe ^ x?

Responder:

Esta función no tiene extremos locales.

Explicación:

#f (x) = xlnx-xe ^ x implica #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

por #X# ser un extremo local, #g (x) # debe ser cero Ahora mostraremos que esto no ocurre por ningún valor real de #X#.

Tenga en cuenta que

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Así #g ^ '(x) # se desvanecerá si

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Esta es una ecuación trascendental que se puede resolver numéricamente. Ya que #g ^ '(0) = + oo # y #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, la raíz se encuentra entre 0 y 1. Y como #g ^ {''} (0) <0 # para todos los positivos #X#, esta es la única raíz y corresponde a un máximo para #g (x) #

Es bastante fácil resolver la ecuación numéricamente, y esto demuestra que #g (x) # tiene un máximo a # x = 0.3152 # y el valor máximo es #g (0.3152) = -1.957 #. Dado que el valor máximo de #g (x) # es negativo, no hay valor de #X# en el cual #g (x) # desaparece

Puede ser instructivo mirar esto gráficamente:

grafica {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Como se puede ver en el gráfico anterior, la función #f (x) # en realidad tiene un máximo en # x = 0 # - Pero esto no es un máximo local. La siguiente gráfica muestra que #g (x) equiv f ^ '(x) # Nunca toma el valor cero.

gráfico {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}