¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Responder:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) aprox. 0.541 #

Explicación:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Aplicando la regla del producto.

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Para máximos locales o mínimos: #f '(x) = 0 #

Dejar # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 o z = -2 #

Por lo tanto para local máximo o mínimo:

#lnx = 0 o lnx = -2 #

#:. x = 1 o x = e ^ -2 aprox. 0.135 #

Ahora examina la gráfica de #x (lnx) ^ 2 # abajo.

gráfica {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Podemos observar que simplificado. #f (x) # tiene un mínimo local en # x = 1 # y un máximo local en #x en (0, 0.25) #

Por lo tanto: #f_min = f (1) = 0 # y #f_max = f (e ^ (- 2)) aprox. 0.541 #

¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x tiene un mínimo local para x = 1 y un máximo local para x = 3 Tenemos: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x el la función se define en todo RR como x ^ 2 + 3> 0 AA x Podemos identificar los puntos críticos encontrando donde la primera derivada es igual a cero: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 por lo que los puntos críticos son: x_1 = 1 y x_2 = 3 Dado que el denominador es siempre positivo, el signo de f '(x) es el opuesto al signo de el numerador (x ^ 2-4x +

¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = a (x-2) (x-3) (x-b), donde a y b son números enteros?

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) Los extremos locales obedecen (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Ahora, si a ne 0 tenemos x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]) pero 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (tiene raíces complejas), entonces f ( x) siempre tiene un mínimo local y un máximo local. Suponiendo un ne 0

¿Cuáles son los extremos locales de f (x) = xlnx-xe ^ x?

Esta función no tiene extremos locales. f (x) = xlnx-xe ^ x implica g (x) equiv. f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Para que x sea un extremo local, g (x) debe ser cero. Ahora mostraremos que esto no ocurre con ningún valor real de x. Tenga en cuenta que g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Así g ^ '(x) desaparecerá si e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Esta es una ecuación trascendental que se puede resolver numéricamente. Dado que g ^ '(0) = + oo y g ^' (1) = 1-3e <0, la raíz se encuentra entre 0 y 1. Y como g ^ {''