¿Cuáles son los extremos globales y locales de f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Responder:

#f (x) # tiene un mínimo absoluto en #(-1. 0)#

#f (x) # tiene un máximo local en # (- 3, 4e ^ -3) #

Explicación:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Regla del producto

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Para extremos absolutos o locales: #f '(x) = 0 #

Eso es donde: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Ya que # e ^ x> 0 para todo x en RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 o -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Regla del producto

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

De nuevo, desde # e ^ x> 0 # Sólo necesitamos probar el signo de # (x ^ 2 + 6x + 7) #

en nuestros puntos extremos para determinar si el punto es un máximo o un mínimo.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # es un mínimo

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # es un máximo

Teniendo en cuenta la gráfica de #f (x) # debajo está claro que #f (-3) # es un máximo local y #f (-1) # es un mínimo absoluto.

gráfico {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Finalmente, evaluando los puntos extremos:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

y

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #