¿Por qué son útiles el círculo unitario y las funciones trigonométricas definidas en él, incluso cuando las hipotenusas de los triángulos en el problema no son 1?

Las funciones de disparo nos dicen la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados en triángulos rectos. La razón por la que son útiles tiene que ver con las propiedades de triángulos similares.

Los triángulos semejantes son triángulos que tienen las mismas medidas de ángulo. Como resultado, las relaciones entre lados similares de dos triángulos son las mismas para cada lado. En la imagen de abajo, esa relación es #2#.

El círculo unitario nos da relaciones entre las longitudes de los lados de los diferentes triángulos rectos y sus ángulos. Todos estos triángulos tienen una hipotenusa de #1#, el radio del círculo unitario. Sus valores de seno y coseno son las longitudes de las patas de estos triángulos.

Supongamos que tenemos una # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # triángulo y sabemos que la longitud de la hipotenusa es #2#. Podemos encontrar un # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # Triángulo en el círculo unitario. Dado que la hipotenusa de nuestro nuevo triángulo es #2#, sabemos que la proporción de los lados es igual a la proporción de las hipotenusas.

# r = (hypoten u se) / 1 = 2/1 = 2 #

Así que para resolver los otros lados del triángulo, solo necesitamos multiplicar #sin (30 ^ o) # y #cos (30 ^ o) # por # r #, cual es #2#.

# 2sin (30 ^ o) = 2 (1/2) = 1 #

# 2cos (30 ^ o) = 2 (sqrt (3) / 2) = sqrt (3) #

Puedes resolver cualquier triángulo rectángulo del que conoces al menos un lado encontrando un triángulo similar en el círculo unitario y luego multiplicando #sin (theta) # y #cos (theta) # por la relación de escala.