El ingreso per cápita es 160 veces mayor en los Estados Unidos que en el Congo. El per cápita crece un promedio de 3% por año en los Estados Unidos y 6% por año en el Congo. ¿Cuántos años pasaría antes de que el per cápita en el Congo supere al de los Estados Unidos?

Responder:

# n = log (160) / log (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # años

Explicación:

Supongamos que el Congo tiene un ingreso per cápita de #$1#, mientras que Estados Unidos tiene #160# tiempos mayores de #$160# (Para simplificar el cálculo, cualquier otro valor también lo haría).

El ingreso per cápita del Congo crece a #6%# por año. Así, el año que viene sería #$1*1.06=$1.06#, y al año siguiente sería #$1*1.06*1.06=$1*1.06^2#. Después #norte# años, el ingreso per cápita se elevaría a # $ 1 * 1.06 ^ n #.

Del mismo modo, el ingreso per cápita de Estados Unidos se elevaría a # $ 160 * 1.03 ^ n # después #norte# años.

El ingreso per cápita del Congo sería superior al de los Estados Unidos cuando

# 1.06 ^ n = 160 * 1.03 ^ n #

# 160 = 1.06 ^ n / 1.03 ^ n = (1.06 / 1.03) ^ n #

Toma el logaritmo de ambos lados:

#log (160) = log ((1.06 / 1.03) ^ n) = nlog (1.06 / 1.03) #

donde usamos el hecho de que #log (a ^ b) = blog (a) # al lado derecho.

Así, # n = log (160) / log (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # años.