¿Cuál es la integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Responder:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Explicación:

Nuestro gran problema en esta integral es la raíz, por lo que queremos deshacernos de ella. Podemos hacer esto introduciendo una sustitución. # u = sqrt (2x-1) #. El derivado es entonces

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Entonces dividimos (y recuerden, dividir por un recíproco es lo mismo que multiplicar por solo el denominador) para integrar con respecto a # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Ahora todo lo que tenemos que hacer es expresar la # x ^ 2 # en términos de # u # (ya que no puedes integrar #X# con respecto a # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Podemos volver a conectar esto en nuestra integral para obtener:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Esto se puede evaluar utilizando la regla de potencia inversa:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Sustituyendo para # u = sqrt (2x-1) #, obtenemos:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #