¿Cuáles son los extremos locales, si los hay, de f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Responder:

Hay un mínimo local de #0# a #1#. (Que también es global.) Y un máximo local de # 4 / e ^ 2 # a # e ^ 2 #.

Explicación:

por #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, note primero que el dominio de #F# son los números reales positivos, # (0, oo) #.

Entonces busca

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

#F'# no está definido en # x = 0 # que no está en el dominio de #F#, por lo que no es un número crítico para #F#.

#f '(x) = 0 # dónde

# lnx = 0 # # # o # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # o # # # x = e ^ 2 #

Prueba los intervalos #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #y # (e ^ 2, oo) #.

(Para los números de prueba, sugiero # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- recordar # 1 = e ^ 0 # y # e ^ x # esta incrementando.)

Encontramos eso #F'# Cambia de negativo a positivo cuando pasamos #1#, asi que #f (1) = 0 # es un mínimo local,

y eso #F'# Cambia de positivo a negativo a medida que pasamos # e ^ 2 #, asi que #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # Es un máximo local.