¿Cómo encuentra el volumen del sólido generado girando la región delimitada por las curvas y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) girada alrededor de y = 4?

Responder:

# V = 685 / 32pi # unidades cúbicas

Explicación:

Primero, dibuja los gráficos.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-interceptar

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Y tenemos eso # {(x = 0), (x = 1):} #

Así que las intercepciones son #(0,0)# y #(1,0)#

Obtener el vértice:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Así que el vértice está en #(1/2,-1/4)#

Repetir anterior:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Y tenemos eso # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Así que las intercepciones son # (sqrt (3), 0) # y # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Así que el vértice está en #(0,3)#

Resultado:

¿Cómo conseguir el volumen? Usaremos el método de disco!

Este método es simplemente que: # "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx #

La idea es simple, sin embargo tienes que usarla inteligentemente.

Y eso es lo que vamos a hacer.

Llamemos a nuestro volumen. # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NÓTESE BIEN: estoy tomando # (4-y) # porque # y # es sólo la distancia de la #X#-axis a la curva, mientras que queremos la distancia desde la línea. # y = 4 # a la curva!

Ahora para encontrar #una# y #segundo#equiparamos # y_1 # y # y_2 # y luego resolver para #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Ya que #una# viene antes #segundo#, # => a = -1 # y # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x _-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Hacer lo mismo para # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = color (azul) ((685pi) / 32) #

¿Cómo encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones y = sqrtx, y = 0 y x = 4 sobre el eje y?

V = 8pi unidades de volumen Esencialmente el problema que tiene es: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Recuerde, el volumen de un sólido viene dado por: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Por lo tanto, nuestro Intergral original corresponde: V = piint_0 ^ 4 (x) dx, que a su vez es igual a: V = pi [x ^ 2 / (2)] entre x = 0 como nuestro límite inferior y x = 4 como nuestro límite superior. Usando el teorema fundamental del cálculo, sustituimos nuestros límites en nuestra expresión integrada al restar el límite inferior del límite superior. V = pi [16 / 2-0] V = 8 unidades de volumen

¿Cómo encuentra el volumen del sólido generado al hacer girar la región delimitada por las gráficas de y = -x + 2, y = 0, x = 0 sobre el eje y?

Vea la respuesta a continuación:

¿Cómo encuentras el volumen del sólido obtenido girando la región delimitada por y = x e y = x ^ 2 alrededor del eje x?

V = (2pi) / 15 Primero necesitamos los puntos donde se encuentran x y x ^ 2. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 o 1 Así que nuestros límites son 0 y 1. Cuando tenemos dos funciones para el volumen, usamos: V = piint_a ^ b (f (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15