Marte tiene una temperatura de superficie promedio de alrededor de 200K. Plutón tiene una temperatura de superficie promedio de alrededor de 40K. ¿Qué planeta emite más energía por metro cuadrado de superficie por segundo? ¿Por un factor de cuánto?

Responder:

Marte emite #625# veces más energía por unidad de área de superficie que Plutón.

Explicación:

Es obvio que un objeto más caliente emitirá más radiación de cuerpo negro. Por lo tanto, ya sabemos que Marte emitirá más energía que Plutón. La única pregunta es por cuánto.

Este problema requiere evaluar la energía de la radiación del cuerpo negro emitida por ambos planetas. Esta energía se describe como una función de la temperatura y la frecuencia que se emite:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

La integración en la frecuencia da la potencia total por unidad de área en función de la temperatura:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(note que la ecuación anterior usa # barh #, la constante de Planck reducida, en lugar de # h #. Es difícil de leer en la notación de Socratic)

Resolviendo la relación entre los dos, entonces, el resultado es increíblemente simple. Si # T_p # Es la temperatura de Plutón y # T_m # es la temperatura de Marte entonces el factor #una# Se puede calcular con:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancelar (pi ^ 2ck ^ 4) / cancelar (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancelar (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # veces tanto