Si tira un solo dado, ¿cuál es el número esperado de tiradas necesarias para tirar cada número una vez?

Responder:

# 14.7 "rollos" #

Explicación:

#P "todos los números lanzados" = 1 - P "1,2,3,4,5, o 6 no lanzados" #

#P "A o B o C o D o E o F" = P A + P B + … + P F - #

#P A y B - P A y C …. + P A y B y C + … #

# "Aquí está esto" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Lo negativo de esto es nuestra probabilidad".

#sum n * a ^ (n-1) = suma (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = suma n * P "todos los números lanzados después de n tiros" #

# = suma n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Tenemos que restar uno debido a la condición de inicio P_1 (0)" #

# "da un valor defectuoso P = 1 para n = 1." #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

Responder:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Explicación:

Piense en ello como seis mini-juegos. Para cada juego, tiramos el dado hasta que sacamos un número que aún no ha sido tirado, lo que llamaremos "ganar". Entonces comenzamos el siguiente juego.

Dejar #X# ser el número de tiros necesarios para tirar cada número al menos una vez (es decir, ganar los 6 minijuegos), y dejar que # X_i # ser el número de tiros necesarios para "ganar" el número de mini-juego #yo# (para #yo# de 1 a 6). Entonces cada uno # X_i # Es una variable aleatoria geométrica con distribución. # "Geo" (p_i) #.

El valor esperado de cada variable aleatoria geométrica es # 1 / p_i #.

Para el primer juego, # p_1 = 6/6 # ya que los 6 resultados son "nuevos". Así, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Para el segundo juego, 5 de los 6 resultados son nuevos, por lo que # p_2 = 5/6 #. Así, # "E" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

Para el tercer juego, 4 de las 6 posibles tiradas son nuevas, por lo que # p_3 = 4/6 #, sentido # "E" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

En este punto, podemos ver un patrón. Dado que la cantidad de tiradas "ganadoras" se reduce en 1 por cada juego nuevo, la probabilidad de "ganar" cada juego disminuye de #6/6# a #5/6#, entonces #4/6#, etc., lo que significa que el número esperado de tiradas por juego va desde #6/6# a #6/5#, a #6/4#, y así sucesivamente, hasta el último juego, donde esperamos que tome 6 tiradas para obtener el último número.

Así:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (blanco) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (blanco) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (blanco) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (blanco) ("E" (X)) = 14.7 #