¿Cómo usas la serie binomial para expandir sqrt (1 + x)?

Responder:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = suma (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # con #x en CC #

Usa la generalización de la fórmula binomial para números complejos.

Explicación:

Hay una generalización de la fórmula binomial a los números complejos.

La fórmula de la serie binomial general parece ser # (1 + z) ^ r = suma ((r) _k) / (k!) Z ^ k # con # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (según Wikipedia). Apliquémoslo a tu expresión.

Esta es una serie de potencias, así que obviamente, si queremos tener posibilidades de que esto no divida, debemos establecer #absx <1 # Y así es como se expande. #sqrt (1 + x) # Con la serie binomial.

No voy a demostrar que la fórmula es verdadera, pero no es tan difícil, solo hay que ver que la función compleja definida por # (1 + z) ^ r # es holomórfico en el disco de la unidad, calcule cada derivada de él en 0, y esto le dará la fórmula de Taylor de la función, lo que significa que puede desarrollarla como una serie de potencia en el disco de la unidad porque #absz <1 #, de ahí el resultado.

¿Cómo usas la serie binomial para expandir (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 La expansión de la serie binomial para (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 viene dada por: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Entonces, tenemos: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

¿Cómo usas la fórmula binomial para expandir [x + (y + 1)] ^ 3?

X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 Este binomio tiene la forma (a + b) ^ 3 Expandimos el binomio aplicando esto propiedad: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. Donde en el binomio dado a = x y b = y + 1 Tenemos: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + ( y + 1) ^ 3 coméntelo como (1) En la expansión anterior todavía tenemos dos binomios para expandir (y + 1) ^ 3 y (y + 1) ^ 2 Para (y + 1) ^ 3 tenemos que usar la propiedad en cubos anterior So (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. Fíjelo como (2) Para (y + 1) ^ 2 tenemos que usar el c

¿Cómo usas la serie binomial para expandir sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Me gustaría un doble control porque como estudiante de física rara vez ir más allá (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx para x pequeña, así que estoy un poco oxidado. La serie binomial es un caso especializado del teorema binomial que establece que (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k With ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Lo que tenemos es (z ^ 2-1) ^ (1/2) , esta no es la forma correcta. Para rectificar esto, recuerde que i ^ 2 = -1, por lo tanto tenemos: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) Esto aho