¿Cómo usas la serie binomial para expandir sqrt (z ^ 2-1)?

Responder:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Explicación:

Me gustaría un doble control porque como estudiante de física rara vez voy más allá # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # Por x pequeño, así que estoy un poco oxidado. La serie binomial es un caso especializado del teorema binomial que establece que

# (1 + x) ^ n = suma_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Con # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Lo que tenemos es # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, esta no es la forma correcta. Para rectificar esto, recuerda que # i ^ 2 = -1 # entonces tenemos:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Esto está ahora en la forma correcta con #x = -z ^ 2 #

Por lo tanto, la expansión será:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #