¿Cómo usas la fórmula binomial para expandir [x + (y + 1)] ^ 3?

Responder:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Este binomio tiene la forma. # (a + b) ^ 3 #

Ampliamos el binomio aplicando esta propiedad:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Donde en binomio dado # a = x # y # b = y + 1 #

Tenemos:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # comentarlo como (1)

En la expansión anterior todavía tenemos dos binomios para expandir.

# (y + 1) ^ 3 # y # (y + 1) ^ 2 #

por # (y + 1) ^ 3 # Tenemos que usar la propiedad en cubos anterior.

Asi que # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Observalo como (2)

por # (y + 1) ^ 2 # Tenemos que usar el cuadrado de la suma que dice:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Asi que # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Observalo como (3)

Sustituyendo (2) y (3) en la ecuación (1) tenemos:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Tenemos que agregar los términos similares, pero en este polinomio no tenemos términos similares, podemos organizar los términos.

Así, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #