Por favor ayuda. ¿No estoy seguro de cómo hacer esto rápidamente sin multiplicarlo todo?

Responder:

La respuesta a (yo) es #240#.

La respuesta a (ii) es #200#.

Explicación:

Podemos hacer esto usando el Triángulo de Pascal, como se muestra a continuación.

(yo)

Dado que el exponente es #6#, necesitamos usar la sexta fila en el triángulo, que incluye #color (púrpura) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # y #color (púrpura) 1 #. Básicamente, utilizaremos #color (azul) 1 # como el primer término y #color (rojo) (2x) # como el segundo. Entonces, podemos crear la siguiente ecuación. El exponente del primer término aumenta en #1# Cada vez y el exponente del segundo término disminuye en #1# con cada término del triángulo.

# (color (púrpura) 1 * color (azul) (1 ^ 0) * color (rojo) ((2x) ^ 6)) + (color (púrpura) 6 * color (azul) (1 ^ 1) * color (rojo) ((2x) ^ 5)) + (color (púrpura) 15 * color (azul) (1 ^ 2) * color (rojo) ((2x) ^ 4)) + (color (púrpura) 20 * color (azul) (1 ^ 3) * color (rojo) ((2x) ^ 3)) + (color (púrpura) 15 * color (azul) (1 ^ 4) * color (rojo) ((2x) ^ 2)) + (color (púrpura) 6 * color (azul) (1 ^ 5) * color (rojo) ((2x) ^ 1)) + (color (púrpura) 1 * color (azul) (1 ^ 6) * color (rojo) ((2x) ^ 0)) #

Entonces, podemos simplificarlo.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Por lo tanto, el coeficiente de # x ^ 4 # es #240#.

(ii)

Ya conocemos la expansión de # (1 + 2x) ^ 6 #. Ahora, podemos multiplicar las dos expresiones juntas.

#color (marrón) (1-x (1/4)) * color (naranja) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

El coeficiente de la #X# en # 1-x (1/4) # es #1#. Por lo tanto, sabemos que elevará los valores de los exponentes en la otra expresión mediante #1#. Porque necesitamos el coeficiente de # x ^ 4 #, solo necesitamos multiplicar # 160x ^ 3 # por # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Ahora, tenemos que añadirlo. # 240x ^ 4 #. Esta es una parte de la solución de # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, debido a la multiplicación por #1#. Es significativo porque también tiene un exponente de #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Por lo tanto, el coeficiente es #200#.

Responder:

yo. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Explicación:

La expansión binomial de # (a + bx) ^ c # se puede representar como:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Para la parte 1 solo necesitamos cuando # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Para la parte 2, también necesitamos el # x ^ 3 # término debido a la # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #