¿Por qué la raíz cuadrada de 5 es un número irracional?

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Explicación:

Aquí hay un bosquejo de una prueba por contradicción:

Suponer #sqrt (5) = p / q # para algunos enteros positivos #pag# y # q #.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que #p, q # son los números más pequeños de este tipo.

Entonces, por definición:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplica ambos extremos por # q ^ 2 # Llegar:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Asi que # p ^ 2 # es divisible por #5#.

Entonces desde #5# es primo, #pag# debe ser divisible por #5# también.

Asi que #p = 5m # para algún entero positivo #metro#.

Entonces tenemos:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Divide ambos extremos por #5# Llegar:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Divide ambos extremos por # m ^ 2 # Llegar:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Asi que #sqrt (5) = q / m #

Ahora #p> q> m #, asi que #q, m # es un par más pequeño de enteros cuyo cociente es #sqrt (5) #, contradiciendo nuestra hipótesis.

Así que nuestra hipótesis de que #sqrt (5) # puede ser representado por # p / q # para algunos enteros #pag# y # q # Es falso. Es decir, #sqrt (5) # no es racional Es decir, #sqrt (5) # es irracional