¿Es sqrt21 el número real, el número racional, el número entero, el número entero, el número irracional?

Responder:

Es un número irracional y por lo tanto real.

Explicación:

Primero probemos que #sqrt (21) # es un número real, de hecho, la raíz cuadrada de todos los números reales positivos es real. Si #X# Es un número real, entonces definimos para los números positivos. #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Esto significa que nos fijamos en todos los números reales. # y # tal que # y ^ 2 <= x # y toma el número real más pequeño que sea más grande que todos estos # y #'s, el llamado supremo. Para números negativos, estos # y #No existe, ya que para todos los números reales, tomar el cuadrado de este número da como resultado un número positivo, y todos los números positivos son más grandes que los números negativos.

Para todos los números positivos, siempre hay alguna # y # eso se ajusta a la condición # y ^ 2 <= x #a saber #0#. Además, hay un límite superior a estos números, a saber # x + 1 #, desde si # 0 <= y <1 #, entonces # x + 1> y #, Si #y> = 1 #, entonces #y <= y ^ 2 <= x #, asi que # x + 1> y #. Podemos mostrar que para cada conjunto no vacío de números reales, siempre hay un número real único que actúa como supremo, debido a la llamada integridad de # RR #. Así que para todos los números reales positivos #X# hay un verdadero #sqrt (x) #. También podemos demostrar que en este caso #sqrt (x) ^ 2 = x #, pero a menos que quieras que lo haga, no probaré esto aquí. Por último observamos que #sqrt (x)> = 0 #, ya que #0# Es un número que se ajusta a la condición, como se indicó anteriormente.

Ahora por la irracionalidad de #sqrt (21) #. Si no fuera irracional (tan racional), podríamos escribirlo como #sqrt (21) = a / b # con #una# y #segundo# números enteros y # a / b # simplificado tanto como sea posible, lo que significa que #una# y #segundo# no tienen divisor común, a excepción de #1#. Ahora esto significa que # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Ahora usamos algo llamado factorización prima de los números naturales. Esto significa que podemos anotar cada número entero positivo como un producto único de números primos. por #21# esto es #3*7# y para #una# y #segundo# Este es un producto arbitrario de primos. # a = a_1 * … * a_n # y # b = b_1 * … * b_m #. El hecho de que el único divisor común de #una# y #segundo# es #1# es equivalente al hecho de que #una# y #segundo# No comparten primos en su factorización, por lo que hay #ai# y # b_j # tal que # a_i = b_j #. Esto significa que # a ^ 2 # y # b ^ 2 # Tampoco compartimos primos, ya que # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # y # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., por lo tanto el único divisor común de # a ^ 2 # y # b ^ 2 # es #1#. Ya que # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, esto significa # b ^ 2 = 1 #, asi que # b = 1 #. Por lo tanto #sqrt (21) = a #. Tenga en cuenta que esto sólo se mantiene bajo el supuesto de que #sqrt (21) # es racional

Ahora, por supuesto, podemos analizar todos los números positivos enteros más pequeños que #21# y verifica si cuadrarlas da #21#, pero este es un método aburrido. Para hacerlo de una manera más interesante, volvemos a nuestros primos. Lo sabemos # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # y #21=3*7#, asi que # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. En el lado izquierdo, cada cebado ocurre solo una vez, en la mano derecha, cada cebado ocurre al menos dos veces, y siempre una cantidad par de veces (si # a_1 = a_n # por ejemplo, ocurriría al menos cuatro veces). Pero como hemos dicho, estas factorizaciones primarias son únicas, por lo que esto no puede ser correcto. Por lo tanto # 21nea ^ 2 #, asi que #anesqrt (21) #, lo que significa que nuestra suposición anterior de #sqrt (21) # Ser racional resulta estar equivocado, por lo tanto #sqrt (21) # es irracional

Tenga en cuenta que el mismo argumento es válido para cualquier número entero positivo #X# con una factorización prima donde uno de los números primos aparece un número desigual de veces, ya que el cuadrado de un número entero siempre tiene todos sus factores primos que aparecen una cantidad de veces par. De esto concluimos que si #X# es un número entero positivo (#x inNN #) tiene un factor primordial que ocurre solo una cantidad desigual de veces, #sqrt (x) # Será irracional.

Soy consciente de que esta prueba puede parecer un poco larga, pero utiliza conceptos importantes de las matemáticas. Probablemente en cualquier plan de estudios de la escuela secundaria, este tipo de razonamientos no están incluidos (no estoy 100% seguro, no sé el plan de estudios de cada escuela secundaria en el mundo), pero para los matemáticos reales, probar cosas es una de las Las actividades más importantes que hacen. Por lo tanto, quería mostrarte qué tipo de matemáticas está detrás de sacar la raíz cuadrada de las cosas. Lo que necesitas quitar de esto, es que efectivamente #sqrt (21) # Es un número irracional.