¿Cuál es la ecuación de la línea que es perpendicular a la línea que pasa por (-8,10) y (-5,12) en el punto medio de los dos puntos?

Responder:

Vea un proceso de solución a continuación:

Explicación:

Primero, necesitamos encontrar el punto medio de los dos puntos del problema. La fórmula para encontrar el punto medio de un segmento de línea que da los dos puntos finales es:

#M = ((color (rojo) (x_1) + color (azul) (x_2)) / 2, (color (rojo) (y_1) + color (azul) (y_2)) / 2) #

Dónde #METRO# es el punto medio y los puntos dados son:

# (color (rojo) (x_1), color (rojo) (y_1)) # y # (color (azul) (x_2), color (azul) (y_2)) #

Sustituyendo da:

#M = ((color (rojo) (- 8) + color (azul) (- 5)) / 2, (color (rojo) (10) + color (azul) (12)) / 2) #

#M = (-13/2, 22/2) #

#M = (-6.5, 11) #

A continuación, necesitamos encontrar la pendiente de la línea que contiene los dos puntos del problema. La pendiente se puede encontrar usando la fórmula: #m = (color (rojo) (y_2) - color (azul) (y_1)) / (color (rojo) (x_2) - color (azul) (x_1)) #

Dónde #metro# es la pendiente y (#color (azul) (x_1, y_1) #) y#color (rojo) (x_2, y_2) #) son los dos puntos en la línea.

Sustituir los valores de los puntos en el problema da:

#m = (color (rojo) (12) - color (azul) (10)) / (color (rojo) (- 5) - color (azul) (- 8)) = (color (rojo) (12) - color (azul) (10)) / (color (rojo) (- 5) + color (azul) (8)) = 2/3 #

Ahora, llamemos la pendiente de la recta perpendicular # m_p #. La fórmula para encontrar # m_p # es:

#m_p = -1 / m #

Sustituyendo da: #m_p = -1 / (2/3) = -3 / 2 #

Ahora podemos usar la fórmula punto-pendiente para encontrar una ecuación para la línea perpendicular que atraviesa el punto medio de los dos puntos dados en el problema. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal es: # (y - color (azul) (y_1)) = color (rojo) (m) (x - color (azul) (x_1)) #

Dónde # (color (azul) (x_1), color (azul) (y_1)) # es un punto en la linea y #color (rojo) (m) # es la pendiente.

Sustituyendo la pendiente calculamos y los valores del punto medio calculados dan:

# (y - color (azul) (11)) = color (rojo) (- 3/2) (x - color (azul) (- 6.5)) #

# (y - color (azul) (11)) = color (rojo) (- 3/2) (x + color (azul) (6.5)) #

Si es necesario, podemos resolver por # y # Para poner la ecuación en forma de pendiente-intersección. La forma de pendiente-intersección de una ecuación lineal es: #y = color (rojo) (m) x + color (azul) (b) #

Dónde #color (rojo) (m) # es la pendiente y #color (azul) (b) # es el valor de intercepción y.

#y - color (azul) (11) = -3 / 2x + (-3/2 xx color (azul) (6.5)) #

#y - color (azul) (11) = -3 / 2x - 9.75 #

#y - color (azul) (11) + 11 = -3 / 2x - 9.75 + 11 #

#y - 0 = -3 / 2x + 1.25 #

#y = color (rojo) (- 3/2) x + color (azul) (1.25) #