¿Cuál es la raíz cúbica de (sqrt3 -i)?

Comenzaría por convertir el número en forma trigonométrica:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

La raíz cúbica de este número se puede escribir como:

# z ^ (1/3) #

Ahora, con esto en mente, uso la fórmula para el enésimo poder de un número complejo en forma trigonométrica:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # dando:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Que en rectangular es: # 4.2-0.7i #

No puedo estar completamente de acuerdo con la respuesta de Gió, porque está incompleta y también (formalmente) incorrecta.

El error formal está en el uso de La formula de de moivre con exponentes no enteros. La fórmula de De Moivre se puede aplicar solo a los exponentes enteros. Más detalles sobre esto en la página de Wikipedia.

Allí encontrarás una extensión parcial de la fórmula, para tratar con #norte#-th raices (implica un parametro extra # k #): Si # z = r (cos theta + i sin theta) #, entonces

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sen ((theta + 2 k pi) / n)) # dónde # k = 0, …, n-1 #.

Uno (y en cierto sentido la) propiedad muy fundamental de los números complejos es que #norte#-las raíces tienen … #norte# raíces (soluciones)! El parámetro # k # (eso varía entre #0# y # n-1 #, asi que #norte# valores) nos permite resumirlos en una sola fórmula.

Así que las raíces cúbicas tienen tres soluciones y encontrar una de ellas no es suficiente: es solo "#1/3# de la solución ".

Voy a escribir mi propuesta de solución a continuación. ¡Los comentarios son bienvenidos!

Como Gió sugirió correctamente, el primer paso es expresar. # z = sqrt {3} -i # en su forma trigonométrica #r (cos theta + i sin theta) #. Cuando se trata de raíces, la forma trigonométrica es (casi) siempre una herramienta útil (junto con la exponencial). Usted obtiene:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Asi que # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Ahora quieres calcular las raíces. Por la fórmula informada anteriormente, obtenemos:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sen ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sen ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

dónde # k = 0, 1, 2 #. Así que hay tres valores diferentes de # k # (#0#, #1# y #2#) que dan a luz a tres raíces complejas diferentes de # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # y # z_2 # Son las tres soluciones.

La interpretación geométrica de la fórmula para la #norte# Las raíces son muy útiles para dibujar las soluciones en el plano complejo. También la trama señala muy bien las propiedades de la fórmula.

En primer lugar, podemos notar que todas las soluciones tienen la misma distancia. # r ^ {1 / n} # (en nuestro ejemplo #2^{1/3}#) desde el origen. Así que todos se encuentran en una circunferencia de radio # r ^ {1 / n} #. Ahora tenemos que señalar dónde Colocarlos en esta circunferencia. Podemos reescribir los argumentos de seno y coseno de la siguiente manera:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

La "primera" raíz corresponde a # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Todas las otras raíces se pueden obtener de esto agregando el ángulo # (2pi) / n # recursivamente al ángulo # theta / n # relativo a la primera raíz # z_0 #. Así que nos estamos moviendo # z_0 # en la circunferencia por una rotación de # (2pi) / n # radianes# (360 °) / n #). Así que los puntos están ubicados en los vértices de un regular. #norte#-gono Dado que uno de ellos, podemos encontrar a los demás.

En nuestro caso:

donde esta el angulo azul # theta / n = -pi / 18 # y el magenta es # (2pi) / n = 2/3 pi #.