¿Qué debe ser la masa de un agujero negro para que su masa dividida por su volumen sea igual a la densidad del agua (1 g / cm ^ 3)?

Responder:

# ~ 7 xx 10 ^ 21 # masas solares

Explicación:

En su forma más simple, un agujero negro puede considerarse como una estrella colapsada donde toda la masa se concentra en un solo punto en el espacio, la singularidad. Porque es un punto, no hay volumen. La densidad de la singularidad es, por lo tanto, infinita independientemente de la masa.

# "density" = "mass" / "volume" = "mass" / 0 = oo #

Dicho esto, los agujeros negros tienen un horizonte de eventos, que es el punto donde la luz es "capturada" por el agujero negro.Si tratamos este horizonte de eventos como un límite esférico para el agujero negro, entonces podemos usar su volumen para nuestro cálculo de densidad en lugar de la singularidad. Efectivamente, estamos calculando la densidad "promedio" dentro del horizonte de eventos. El radio del horizonte de eventos, llamado Radio de Schwarzschild, se puede encontrar utilizando lo siguiente:

#R = (2MG) / c ^ 2 #

Dónde #METRO# es la masa de la singularidad, #SOL# es el coeficiente de gravedad, y #do# Es la velocidad de la luz en un vacío. El volumen de nuestro horizonte de eventos esféricos es por lo tanto;

#V = pi R ^ 2 = 4pi (MG) ^ 2 / c ^ 4 #

Nuestra fórmula de densidad desde arriba es ahora mucho más interesante.

#rho = c ^ 4 / (4piMG ^ 2) #

O bien, con un poco de reorganización, #M = c ^ 4 / (4pi rho G ^ 2) #

Enchufando las constantes y la densidad del agua, #rho = 1 "g / cm" ^ 2 #, podemos resolver para nuestra misa.

#M = (3xx10 ^ 10 "cm / s") ^ 4 / (4 pi (1 "g / cm" ^ 2) (6.67 xx 10 ^ -8 "cm" ^ 3 "/ g / s" ^ 2) ^ 2) = 1.45 xx 10 ^ 55 g #

En términos más significativos, esto es equivalente a # ~ 7 xx 10 ^ 21 # Masas solares, dentro del rango de los agujeros negros estelares. Me gustaría reiterar que esta es la densidad promedio para un agujero negro, y no necesariamente refleja la distribución real de la materia dentro del horizonte de eventos. Un tratamiento típico de los agujeros negros efectivamente pone a toda la masa en la singularidad infinitamente densa.