¿Qué opción es correcta?

Responder:

Todos ellos.

Explicación:

Por inspección, todos los términos contienen una #X# o # y # así #(0,0)# es una solución para todos ellos para cualquier a o b. Aunque la opción 4 es solo un punto. #(0,0)# Cuenta como una solución racional.

Responder:

Opción #1# y #3# solamente.

Explicación:

Expandir:

# a ^ 2y ^ 2-2abxy + b ^ 2x ^ 2 + 4xy = 0 #

# (b ^ 2) x ^ 2 + (4y-2aby) x + (a ^ 2y ^ 2) = 0 #

Utilizando discriminante:

# (4y-2aby) ^ 2-4 (b ^ 2) (a ^ 2y ^ 2) = n ^ 2 #

Esto simplifica a:

# 16y ^ 2 (1-ab) = n ^ 2 #

Para que la ecuación obtenga soluciones racionales, entonces la ecuación debe ser igual a un cuadrado perfecto. # 16y ^ 2 # ya es uno entonces # (1-ab) # debería ser demasiado

Opción #1# y #3# solo porque son iguales a #0# y #1/4# respectivamente.