Por favor resuelva esto? ¿Qué opción es correcta?

Esto se ve fácilmente como no realizable por medios elementales, así que lo resolví numéricamente y obtuve:

Evalué la integral para #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Para entonces estaba claramente llegando #0.5#.

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

o

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Ahora, asumiendo que una de las respuestas es verdadera, la más natural parece ser la cuarta 4)

NOTA

para #x en 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Responder:

#1/2#

Explicación:

Como ya se ha mostrado en una solución anterior, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

existe y está acotado:

# 1/2 le I_n <1 #

Ahora la integración por partes rinde.

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n veces (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Ahora desde # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # en #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

Ya que #lim_ (n a oo) I_n # existe, tenemos

#lim_ (n a oo) J_n = lim_ (n a oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n a oo) 2 / (n + 2) veces lim_ (n a oo) I_ (n + 2) = 0 #

Por lo tanto

# lim_ (n a oo) I_n = 1/2 #