¿Cuál es el antiderivado de 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Responder:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Explicación:

Así que aquí tenemos la integral:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Y la forma de recíproco cuadrático parece sugerir que la sustitución trigonométrica funcionaría aquí. Así que primero completa el cuadrado para obtener:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

A continuación, aplicar la sustitución. #u = x-1 # Para eliminar el lineal:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Así que podemos cambiar las variables de forma segura sin efectos secundarios no deseados:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Ahora, esta es la forma ideal para ejecutar una sustitución trigonométrica; # u ^ 2 + 1 # sugiere la identidad pitagórica # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, entonces aplicamos la sustitución. #u = tantheta # Para simplificar el denominador:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Entonces la integral se convierte en:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Ahora, usamos la fórmula de doble ángulo para # cos # Para hacer más manejable esta antiderivada:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Luego pon eso en la integral:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (y reabriendo esto con la fórmula de doble ángulo para #pecado#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Ahora, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Finalmente, llegando al punto:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #