Si a ^ 3 + b ^ 3 = 8 y a ^ 2 + b ^ 2 = 4, ¿cuál es el valor de (a + b)?

Responder:

Hay dos valores posibles para la suma, # a + b = 2 # (para # a = 2 # y # b = 0 #) o # a + b = -4 # (para # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Explicación:

En realidad hay dos incógnitas, la suma y el producto de #una# y #segundo,# Entonces deja #x = a + b # y #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Dos ecuaciones en dos incógnitas, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Eso se llama una depresión cúbica, y esos tienen una solución de forma cerrada bastante fácil como la fórmula cuadrática. Pero en lugar de tocar eso, solo adivinemos una raíz por el método tradicional de intentar números pequeños. Vemos # x = 2 # funciona tan # (x-2) # es un factor

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Ahora podemos más factor

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Así que hay dos valores posibles para la suma, # a + b = 2 # y # a + b = -4. #

La primera respuesta corresponde a la solución real. # a = 2, b = 0 # y por simetria # a = 0, b = 2 #. La segunda respuesta corresponde a la suma de un par de conjugados complejos. Ellos son # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. ¿Puedes comprobar esta solución?

Responder:

# (a + b) = 2, o, a + b = -4 #

Explicación:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Ahora,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Dejar,

# (a + b) = x #

Asi que, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Observa eso #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # es un factor

Ahora, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, o, x = -4 #.

#:. a + b = 2, o, a + b = -4 #.

El gráfico se da aquí.

El valor de #color (rojo) ((a + b) = 2, o, -4. #

Espero eso ayude…

Gracias…