¿Cuál es la diferencia entre un antiderivado y una integral?

No hay diferencias, las dos palabras son sinónimos.

Depende de un par de cosas. ¿Qué antiderivada, la general o la particular? ¿Qué integral definida o indefinida? ¿Y a quién preguntamos?

Antiderivado general e integral indefinido:

Muchos matemáticos no distinguen la integral indefinida y la antiderivada general. En cualquier caso para la función. #F# la respuesta es #F (x) + C # dónde #F '(x) = f (x) #..

Algunos (por ejemplo, el autor de libros de texto James Stewart) hacen una distinción. A lo que Stewart se refiere como "la antiderivada más general" de #F#, admite diferentes constantes en cada descontento de #F#. Por ejemplo, él respondería que la antiderivada más general de # 1 / x ^ 2 # Es una función definida por partes:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # para #x <0 # y # (- 1) / x + C_2 # para #x> 0 #.

La integral indefinida de #F#, en este tratamiento, siempre es un antiderivado en algún intervalo en el que #F# es continuo.

Asi que #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, donde se entiende que el dominio está restringido a algún subconjunto de los reales positivos o un subconjunto de los reales negativos.

Antiderivadas particulares

Una particular antiderivada de #F# es una función #F# (en lugar de una familia de funciones) para las cuales #F '(x) = f (x) #.

Por ejemplo:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # para #x <0 # y # (- 1) / x + 1 # para #x> 0 #.

es un particular antidervativo de #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Y:

#G (x) = (- 1) / x-3 # para #x <0 # y # (- 1) / x + 6 # para #x> 0 #.

Es un antidervativo particular diferente de #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integrales definidas

La integral definida de #F# desde #una# a #segundo# No es una función. Es un numero

Por ejemplo:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Para complicar aún más las cosas, se puede encontrar esta integral definida, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2, al encontrar la / una integral indefinida / antiderivada general primero, luego hacer somearitmética.)

Su pregunta está relacionada con lo que realmente fue la "visión clave" en el desarrollo del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Enfocándose en funciones que nunca son negativas, esta idea puede expresarse de la siguiente manera: "Las antiderivadas pueden usarse para encontrar Las áreas (integrales) y las áreas (integrales) se pueden utilizar para definir Antiderivadas ". Esta es la esencia del Teorema Fundamental del Cálculo.

Sin preocuparse por las sumas de Riemann (después de todo, Bernhard Riemann vivió casi 200 años después de Newton y Leibniz de todos modos) y toma la noción de área como un concepto intuitivo (indefinido), para una función continua no negativa #f (x) geq 0 # para todos #X# con #a leq x leq b #, solo piensa en el símbolo integral definido # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # como representando el área debajo de la gráfica de #F# y encima de la #X#-axis entre # x = a # y # x = b #. Si otra función #F# se puede encontrar para que #F '(x) = f (x) # para todos #a leq x leq b #, entonces #F# Se llama una antiderivada de #F# durante el intervalo # a, b # y la diferencia #F (b) -F (a) # es igual al valor de la integral definida. Es decir, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Este hecho es útil para hallazgo el valor de una integral (área) definida cuando se puede encontrar una fórmula para una antiderivada.

Por el contrario, si hacemos que el límite superior del símbolo integral sea una variable, llámelo # t #, y definir una función #F# por la formula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (asi que #Pie)# Es realmente el área debajo de la gráfica de #F# Entre # x = a # y # x = t #, asumiendo #a leq t leq b #), entonces esta nueva función #F# es bien definido, diferenciable, y #F '(t) = f (t) # para todos los numeros # t # Entre #una# y #segundo#. Hemos utilizado una integral para definir una antiderivada de #F#. Este hecho es útil para aproximar los valores de una antiderivada cuando no se puede encontrar una fórmula (utilizando métodos de integración numérica como la regla de Simpson). Por ejemplo, los estadísticos lo usan todo el tiempo cuando aproximan áreas bajo la curva Normal. Los valores de una antiderivada especial de la curva Normal estándar a menudo se dan en una tabla en los libros de estadísticas.

En el caso donde #F# tiene valores negativos, la integral definida debe pensarse en términos de "áreas firmadas".