¿Qué es el GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Responder:

El mayor divisor común de #2^32-2^24+2^16-2^8+1# y #2^8+1# es #1#

Explicación:

Tenga en cuenta que:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

es un número primo, de hecho uno de los pocos números primos conocidos de Fermat.

Así que los únicos posibles factores comunes de #2^8+1# y #2^32-2^24+2^16-2^8+1# son #1# y #257#.

Sin embargo, como ha señalado en la pregunta:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

Es de la forma:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

El único factor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # de #2^40+1# Corresponde a la quinta raíz real de la unidad y # (x + y) # No es automáticamente un factor del quártico restante. # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # cuyos otros factores lineales son todos complejos no reales.

Podemos dividir manualmente # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # por # x + y # para obtener un resto polinomial y luego sustituir # x = 2 ^ 8 # y # y = 1 # Para comprobar que este no es un caso especial …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Así que el resto es:

# 5y ^ 4 = 5 (color (azul) (1)) ^ 4 = 5 #

Dado que el resto es distinto de cero, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# y #2^8+1# no tienen un factor común mayor que #1#.