¿Cómo encuentras la suma de la serie geométrica infinita 10 (2/3) ^ n cuando n = 2?

Responder:

La respuesta es: #40/9# o #40/3# Dependiendo de lo que se entiende por la pregunta.

Explicación:

Bueno, si #n = 2 # entonces no hay una suma, la respuesta es solo:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Pero quizás la pregunta estaba destinada a pedir que la suma infinita se tomara comenzando # n = 2 # tal que la ecuación es:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

En este caso, lo calcularíamos observando primero que cualquier serie geométrica puede verse como de la forma:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

En este caso, nuestra serie tiene #a = 10 # y #r = 2/3 #.

También observaremos que:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Así que simplemente podemos calcular la suma de una serie geométrica # (2/3) ^ n # y luego multiplicar esa suma por #10# Para llegar a nuestro resultado. Esto hace las cosas más fáciles.

También tenemos la ecuación:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Esto nos permite calcular la suma de la serie a partir de # n = 0 #. Pero queremos calcularlo desde # n = 2 #. Para hacer esto, simplemente restaremos la # n = 0 # y # n = 1 # términos de la suma completa. Escribiendo los primeros términos de la suma, podemos ver que se ve así:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Podemos ver eso:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 suma_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#

El término r _ ("th") de una serie geométrica es (2r + 1) cdot 2 ^ r. ¿La suma del primer n término de la serie es qué?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = suma_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + suma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = suma_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1-2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1-2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Vamos a verificar S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0

U_1, u_2, u_3, ... están en Progresión geométrica (GP). La proporción común de los términos en la serie es K. Ahora determine la suma de la serie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) en la forma de K y u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) El término general de una progresión geométrica se puede escribir: a_k = ar ^ (k-1) donde a es el término inicial y r la razón común. La suma de n términos viene dada por la fórmula: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) color (blanco) () Con la información dada en la pregunta, la fórmula general para u_k puede ser escrito: u_k = u_1 K ^ (k-1) Tenga en cuenta que: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Entonces: suma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = suma_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) color (

Si la suma de una serie geométrica infinita es 9 y el primer término es 6, ¿determinar la razón común?

La respuesta es 1/3. La suma de una serie geométrica infinita viene dada por a / (1-r) Donde a es el primer término yr la relación común So 6 / (1-r) = 9 So r = 1/3