U_1, u_2, u_3, ... están en Progresión geométrica (GP). La proporción común de los términos en la serie es K. Ahora determine la suma de la serie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) en la forma de K y u_1?

Responder:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Explicación:

El término general de una progresión geométrica se puede escribir:

#a_k = a r ^ (k-1) #

dónde #una# es el término inicial y # r # la razón común.

La suma a #norte# Los términos están dados por la fórmula:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color blanco)()#

Con la información dada en la pregunta, la fórmula general para #Reino Unido# puede ser escrito:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Tenga en cuenta que:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Asi que:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = suma_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (blanco) (suma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = suma_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (blanco) (suma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = suma_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # dónde # a = u_1 ^ 2K # y #r = K ^ 2 #

#color (blanco) (suma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (blanco) (suma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #