Una partícula es lanzada sobre un triángulo desde un extremo de una base horizontal y el pastoreo del vértice cae en el otro extremo de la base. Si alfa y beta son los ángulos base y theta es el ángulo de proyección, pruebe que tan theta = tan alfa + tan beta?

Dado que una partícula es lanzada con ángulo de proyección # theta # sobre un triangulo # DeltaACB # de uno de sus extremos #UNA# de la base horizontal # AB # alineado a lo largo del eje X y finalmente cae en el otro extremo #SEGUNDO#de la base, pastando el vértice #C (x, y) #

Dejar # u # ser la velocidad de proyección, # T # ser el tiempo de vuelo, # R = AB # ser el rango horizontal y # t # Ser el tiempo que tarda la partícula en llegar a C. # (x, y) #

La componente horizontal de la velocidad de proyección. # -> ucostheta #

La componente vertical de la velocidad de proyección. # -> usintheta #

Considerando el movimiento bajo la gravedad sin ninguna resistencia del aire, podemos escribir

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# x = ucosthetat ………………. 2 #

combinando 1 y 2 obtenemos

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => color (azul) (y / x = tantheta - ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Ahora durante el tiempo de vuelo # T # el desplazamiento vertical es cero

Asi que

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Por lo tanto, el desplazamiento horizontal durante el tiempo de vuelo, es decir, el rango está dado por

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2theta) #

# => color (azul) ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Combinando 3 y 4 obtenemos

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # ya que #color (rojo) (y / x = tanalpha) # de la figura

Asi que # tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => tantheta = tanalpha + (xtanalpha) / (R-x) #

# => tantheta = tanalpha + y / (R-x) # poniendo #color (rojo) (xtanalpha = y) #

Finalmente tenemos de la figura. #color (magenta) (y / (R-x) = tanbeta) #

De ahí obtenemos nuestra relación requerida.

#color (verde) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #