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Explicación:
por # x = 0 # tenemos
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Consideramos una nueva función. #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X##en## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X##en## RR #
Como resultado #sol# está aumentando en # RR #. Por lo tanto, porque está aumentando estrictamente #sol# es "#1-1#" (doce y cincuenta y nueve de la noche)
Asi que, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Tenemos que demostrar que # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- #F# es continuo en # 0, x #
- #F# es diferenciable en # (0, x) #
Según el teorema del valor medio hay # x_0 ##en## (0, x) #
para cual #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #X##en## RR # asi que
Al diferenciar ambas partes obtenemos
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
La función # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # es diferenciable Como resultado #F'# es diferenciable y #F# es 2 veces diferenciable con
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X##en## RR #
-> #F'# está aumentando estrictamente en # RR # lo que significa
# x_0 ##en## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <##X# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
