¿Qué es x si log_4 (8x) - 2 = log_4 (x-1)?

Responder:

# x = 2 #

Explicación:

Nos gustaría tener una expresión como

# log_4 (a) = log_4 (b) #, porque si lo tuviéramos, podríamos terminar fácilmente, observando que la ecuación se resolvería si y solo si # a = b #. Entonces, vamos a hacer algunas manipulaciones:

1. En primer lugar, tenga en cuenta que #4^2=16#, asi que # 2 = log_4 (16) #.

La ecuación luego se vuelve a escribir como

# log_4 (8x) -log_4 (16) = log_4 (x-1) #

Pero aún no estamos contentos, porque tenemos la diferencia de dos logaritmos en el miembro de la izquierda y queremos uno único. Entonces usamos

1. #log (a) -log (b) = log (a / b) #

Entonces, la ecuación se convierte en

# log_4 (8x / 16) = log_4 (x-1) #

Que es por supuesto

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) #

Ahora estamos en la forma deseada: ya que el logaritmo es inyectivo, si # log_4 (a) = log_4 (b) #entonces necesariamente # a = b #. En nuestro caso,

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) iff x / 2 = x-1 #

Que es fácil de resolver en # x = 2x-2 #, cuyos rendimientos # x = 2 #