Rango de log_0.5 (3x-x ^ 2-2)?

Responder:

# 2 <= y <oo #

Explicación:

Dado # log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Para entender el rango, necesitamos encontrar el dominio.

La restricción en el dominio es que el argumento de un logaritmo debe ser mayor que 0; esto nos obliga a encontrar los ceros de la cuadrática:

# -x ^ 2 + 3x-2 = 0 #

# x ^ 2- 3x + 2 = 0 #

# (x -1) (x-2) = 0 #

Esto significa que el dominio es # 1 <x <2 #

Para el rango, establecemos la expresión dada igual a y:

#y = log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Convertir la base al logaritmo natural:

#y = ln (-x ^ 2 + 3x-2) / ln (0.5) #

Para encontrar el mínimo, calcula la primera derivada:

# dy / dx = (-2x + 3) / (ln (0.5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

Establezca la primera derivada igual a 0 y resuelva para x:

# 0 = (-2x + 3) / (ln (0.5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

# 0 = -2x + 3 #

# 2x = 3 #

#x = 3/2 #

El mínimo ocurre en #x = 3/2 #

#y = ln (- (3/2) ^ 2 + 3 (3/2) -2) / ln (0.5) #

#y = ln (1/4) / ln (0.5) #

#y = 2 #

El mínimo es 2.

Porque #ln (0.5) # Es un número negativo, la función se acerca. # + oo # a medida que x se acerca a 1 o 2, por lo tanto, el rango es:

# 2 <= y <oo #