Si f (x) = x tan ^ -1 entonces f (1) es ¿qué?

Responder:

# f (1) # dónde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Explicación:

Asumiré que la pregunta es #f (1) # dónde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalmente trataría el # arctan # como multivalor. Pero aquí con la notación explícita de funciones. #f (x) # Diré que queremos el valor principal de la tangente inversa. El ángulo con la tangente 1 en el primer cuadrante es # 45 ^ circ # o # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Este es el fin. Pero dejemos la pregunta a un lado, y centrémonos en qué #arctan t # realmente significa.

Usualmente pienso en #tan ^ -1 (t) # o equivalente (y creo que mejor notación) #arctan (t) # como un expresión multivalor. La "función" arctan no es realmente una función, porque es la inversa de algo periódico, que realmente no puede tener una inversa en todo su dominio.

Esto es realmente confuso para estudiantes y profesores. De repente tenemos cosas que parecen funciones que no son realmente funciones. Se han deslizado un poco debajo del radar. Se requieren nuevas reglas para tratar con ellos, pero nunca se establecen explícitamente. Las matemáticas comienzan a ponerse borrosas cuando no debería.

# x = arctan t # es mejor pensado como las soluciones para #tan x = t. # Hay un número infinitamente contable de ellos, uno por período. La tangente tiene periodo de #Pi# entonces las soluciones son #Pi# aparte, que es donde el #pi k # viene de, entero # k #.

Normalmente escribo el valor principal de la tangente inversa como Arctan, con una A mayúscula. Desafortunadamente, Socratic sigue "corrigiéndolo". Lo fudge aquí

#t = tan x # tiene soluciones

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # para entero # k #.