¿Cómo evalúa la integral de int (dt) / (t-4) ^ 2 de 1 a 5?

Responder:

Sustituir # x = t-4 #

La respuesta es, si de hecho te piden que encuentres la integral:

#-4/3#

Si buscas el área, no es tan simple.

Explicación:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Conjunto:

# t-4 = x #

Por lo tanto el diferencial:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

Y los límites:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Ahora sustituye estos tres valores encontrados:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOTA: NO LEA ESTO SI NO SE HA ENSEÑADO CÓMO ENCONTRAR EL ÁREA. Aunque esto debería representar realmente el área entre los dos límites y dado que siempre es positivo, debería haber sido positivo. Sin embargo, esta función es no continua a # x = 4 # así que esta integral no representa el área, si eso es lo que querías. Es un poco más complicado.

Responder:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Explicación:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Responder:

Dependiendo de cuánta integración hayas aprendido, la respuesta "mejor" será: "la integral no está definida" (todavía) o "la integral diverges"

Explicación:

Cuando tratamos de evaluar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, deberíamos comprobar que el integrando está definido en el intervalo sobre el cual nos estamos integrando.

# 1 / (x-4) ^ 2 # no se define en #4#, así es no definido en todo el intervalo #1,5#.

Al principio del estudio del cálculo., definimos la integral comenzando con

"Dejar #F# ser definido en el intervalo # a, b #… '

Tan temprano en nuestro estudio, la mejor respuesta es que

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# no está definido (¿todavía?)

Más adelante ampliamos la definición. a lo que se llama "integrales impropias"

Estos incluyen integrales en intervalos ilimitados (# (- oo, b #, # a, oo) # y # (- oo, oo) #) y también los intervalos en los que el integrando tiene puntos donde no está definido.

A (intentar) evaluar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, evaluamos las dos integrales impropias # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Tenga en cuenta que el integrand todavía no está definido en estos cerrado intervalos.)

El método es reemplazar el punto donde el integrando no está definido por una variable, luego tomar un límite a medida que esa variable se acerca al número.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Encontremos primero la integral:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Buscando el límite como # brarr4 ^ - #, vemos que el límite no existe. (Como # brarr4 ^ - #, El valor de # -1 / (b-4) # aumenta sin límite.

Por lo tanto la integral sobre #1,4# no existe por lo que la integral sobre #1,5# no existe.

Decimos que la integral diverge.

Nota

Algunos dirían: ahora tenemos un definición De la integral, simplemente no hay ningún número que satisfaga la definición.