Por favor, ayuda a resolver esto, no puedo encontrar una solución. La pregunta es encontrar f? Dado f: (0, + oo) -> RR con f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x en (0, + oo)

Responder:

#f (x) = lnx + 1 #

Explicación:

Dividimos la desigualdad en 2 partes:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Veamos (1):

Nos reorganizamos para obtener #f (x)> = lnx + 1 #

Veamos (2):

Asumimos # y = x / e # y # x = ye #. Seguimos satisfaciendo la condición. #y en (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # asi que #f (y) = f (x) #.

De los 2 resultados, #f (x) = lnx + 1 #

Responder:

Asume un formulario y luego usa los límites.

Explicación:

En función del hecho de que vemos que f (x) limita ln (x), podemos suponer que la función es una forma de ln (x). Asumamos una forma general:

#f (x) = Aln (x) + b #

Enchufando en las condiciones, esto significa.

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Podemos restar #Aln (x) + b # de toda la ecuación para encontrar

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

Voltear,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Si queremos que esto sea cierto para todas las x, vemos que el límite superior es una constante y #ln (x) # es ilimitado, ese término claramente debe ser 0. Por lo tanto, A = 1, dejándonos con

# 1 le b le 1 implica b = 1 #

Así que solo tenemos la solución con #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #