¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Responder:

Hay un extremo en #(3,3,27)#

Tenemos:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Y así derivamos las derivadas parciales:

# (parcial f) / (parcial x) = y - 27 / x ^ 2 # y # (parcial f) / (parcial y) = x - 27 / y ^ 2 #

En los puntos extremos o de silla de montar tenemos:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 # y # (parcial f) / (parcial y) = 0 # simultaneamente:

es decir, una solución simultánea de:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Restar estas ecuaciones da:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Podemos eliminar # x = 0; y = 0 # y entonces # x = y # Es la única solución válida, que lleva a:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

Y con # x = y = 3 #, tenemos:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Por lo tanto, solo hay un punto crítico que ocurre en (3,3,27) que se puede ver en esta gráfica (que incluye el plano tangente)