¿Cómo divides (i + 8) / (3i -1) en forma trigonométrica?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

En primer lugar tenemos que convertir estos dos números en formas trigonométricas.

Si # (a + ib) # es un número complejo, # u # es su magnitud y #alfa# es su ángulo entonces # (a + ib) # en forma trigonométrica se escribe como #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitud de un número complejo. # (a + ib) # es dado por#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # y su ángulo está dado por # tan ^ -1 (b / a) #

Dejar # r # ser la magnitud de # (8 + i) # y # theta # sea su angulo

Magnitud de # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Ángulo de # (8 + i) = Bronceado ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Dejar # s # ser la magnitud de # (- 1 + 3i) # y #fi# sea su angulo

Magnitud de # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Ángulo de # (- 1 + 3i) = Tango ^ -1 (3 / -1) = Tango ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Ahora,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Aquí tenemos todas las cosas presentes, pero si aquí sustituyes directamente los valores, la palabra sería desagradable para encontrar # theta -phi # así que primero averigüemos # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Lo sabemos:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implia theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5)) #

Esta es tu respuesta final.

También puedes hacerlo por otro método.

En primer lugar, dividiendo los números complejos y luego cambiándolos a la forma trigonométrica, que es mucho más fácil que esto.

En primer lugar vamos a simplificar el número dado

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Multiplica y divide por el conjugado del número complejo presente en el denominador, es decir, # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Dejar # t # ser la magnitud de # (1 / 10- (5i) / 2) # y #beta# sea su angulo

Magnitud de # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Ángulo de # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tango ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.