¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) en el intervalo x, y en [-pi, pi]?

Responder:

Explicación:

Tenemos:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Paso 2 - Identificar los puntos críticos

Un punto crítico ocurre en una solución simultánea de

# f_x = f_y = 0 iff (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 #

es decir, cuando:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # simultaneamente

Considera la ecuación A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Entonces tenemos dos soluciones:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Ahora usemos la ecuación B para encontrar la coordenada correspondiente:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x en RR # (canalones)

Lo que nos da los siguientes puntos críticos:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 puntos críticos)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 puntos críticos)

# (alpha, 0) alpha alpha en RR # (línea de canal)

# (alpha, + -pi) AA alpha en RR # (2 líneas de canal)

Considera la ecuación B

# -6sinxsin2y = 0 #

Entonces tenemos dos soluciones:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Ahora usemos la ecuación A para encontrar la coordenada correspondiente @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (repeticiones de arriba)

# y = 0 => x en RR # (repetición de arriba)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = = x = + - pi / 2 # (repeticiones de arriba)

Lo que no nos da puntos críticos adicionales:

Paso 3 - Clasificar los puntos críticos.

Para clasificar los puntos críticos, realizamos una prueba similar a la de un cálculo variable utilizando las segundas derivadas parciales y la matriz de Hesse.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y)), ((parcial ^ 2 f) / (parcial y parcial x), (parcial ^ 2 f) / (parcial y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Entonces dependiendo del valor de #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Hay un máximo si" f_ (xx) <0), (, "y un mínimo si" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "hay un punto de silla"), (Delta = 0, "Se necesita más análisis"):} #

Usando macros de Excel personalizadas, los valores de la función junto con los valores derivados parciales se calculan de la siguiente manera:

Aquí hay una gráfica de la función.

Y el ploit con los puntos críticos (y las canaletas).