¿Cuáles son los puntos extremos y de asiento de f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Responder:

# {: ("Punto crítico", "Conclusión"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "silla de montar"), ((-1,2), "silla de montar "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Explicación:

La teoría para identificar los extremos de # z = f (x, y) # es:

Resuelve simultáneamente las ecuaciones críticas.

# (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 # (es decir # z_x = z_y = 0 #)
Evaluar #f_ (x x), f_ (yy) y f_ (xy) (= f_ (yx)) # en cada uno de estos puntos críticos. Por lo tanto evaluar # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # en cada uno de estos puntos
Determine la naturaleza de los extremos;

# {: (Delta> 0, "Hay un mínimo si" f_ (xx) <0), (, "y un máximo si" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "hay un punto de silla"), (Delta = 0, "Se necesita más análisis"):} #

Entonces tenemos:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Encontremos las primeras derivadas parciales:

# (parcial f) / (parcial x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (parcial f) / (parcial y) = 2xy + 2y #

Así que nuestras ecuaciones críticas son:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

A partir de la segunda ecuación tenemos:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # en la primera ecuación y obtenemos:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # en la primera ecuación y obtenemos:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Y así tenemos cuatro puntos críticos con coordenadas;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Entonces, ahora veamos las segundas derivadas parciales para poder determinar la naturaleza de los puntos críticos:

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 12x + 10 #

# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = 2x + 2 #

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y) = 2y (= (parcial ^ 2f) / (parcial y parcial x)) #

Y debemos calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y)) ^ 2 #

en cada punto crítico. Los segundos valores derivados parciales, #Delta#, y conclusión son las siguientes:

# {: ("Punto crítico", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y), Delta, "Conclusión"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sillín"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sillín"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Podemos ver estos puntos críticos si nos fijamos en un gráfico 3D: