Digamos que K y L son dos espacios diferentes del vector real subespacio V. Si se da dim (K) = dim (L) = 4, ¿cómo determinar las dimensiones mínimas posibles para V?

Responder:

5

Explicación:

Dejemos los cuatro vectores. # k_1, k_2, k_3 # y # k_4 # formar una base del espacio vectorial # K #. Ya que # K # es un subespacio de # V #, estos cuatro vectores forman un conjunto linealmente independiente en # V #. Ya que # L # es un subespacio de # V # diferente de # K #, debe haber al menos un elemento, digamos # l_1 # en # L #, que no está en # K #, es decir, que no es una combinación lineal de # k_1, k_2, k_3 # y # k_4 #.

Por lo tanto, el conjunto # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # es un conjunto lineal independiente de vectores en # V #. Así, la dimensionalidad de # V # es al menos 5!

De hecho, es posible que el lapso de # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # ser todo el espacio vectorial # V # - para que el número mínimo de vectores base sea 5.

Solo como ejemplo, dejemos # V # ser # RR ^ 5 # y deja # K # y # V # consiste en vectores de las formas

# ((alfa), (beta), (gamma), (delta), (0)) # y # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Es fácil ver que los vectores

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#y #((0),(0),(0),(0),(0))#

formar una base de # K #. Anexar el vector #((0),(0),(0),(0),(0))#, y obtendrás una base para todo el espacio vectorial,