Número de valores del parámetro alpha en [0, 2pi] para los cuales la función cuadrática, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) es el cuadrado de una función lineal es ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Si sabemos que la expresión debe ser el cuadrado de una forma lineal, entonces

# (sin alfa) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) = (ax + b) ^ 2 #

A continuación, agrupamos los coeficientes que tenemos.

# (alfa ^ 2-sin (alfa)) x ^ 2 + (2ab-2cos alfa) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

entonces la condición es

# {(a ^ 2-sin (alfa) = 0), (ab-cos alfa = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalfa) = 0):} #

Esto se puede resolver obteniendo primero los valores para # a, b # y sustituyendo.

Lo sabemos # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alpha + 1 / (sin alpha + cos alpha) # y

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Ahora resolviendo

# z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Resolviendo y sustituyendo # a ^ 2 = sinalpha # obtenemos

#a = b = pm 1 / raíz (4) (2), alfa = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) root (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #