¿Cómo podría probar esto? ¿Estaría esto usando un teorema del análisis real?

# "Usa la definición de derivado:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"Aquí tenemos"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Tenemos que demostrar que" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"o"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"o"#

#h '(x_0) = 0 #

# "con" h (x) = f (x) - g (x) #

#"o"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"o"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(debido a" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Ahora"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "if" h> 0 "y" lim> = 0 "if" h <0 #

# "Supusimos que f y g son diferenciables" #

# "así que" h (x) = f (x) - g (x) "también es diferenciable," #

# "por lo que el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho, por lo que" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Responder:

Proporcionaré una solución más rápida que la de http://socratic.org/s/aQZyW77G. Para esto tendremos que confiar en algunos resultados familiares del cálculo.

Explicación:

Definir #h (x) = f (x) -g (x) #

Ya que #f (x) le g (x) #, tenemos #h (x) le 0 #

A # x = x_0 #, tenemos #f (x_0) = g (x_0) #, así que eso #h (x_0) = 0 #

Así # x = x_0 # Es un máximo de la función diferenciable. #h (x) # dentro el intervalo abierto # (a, b) #. Así

#h ^ '(x_0) = 0 implica #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) implica #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #