¿Qué tipo de sección cónica tiene la ecuación 9y ^ 2 - x ^ 2 - 4x + 54y + 68 = 0?

# 9y ^ 2 x ^ 2 4x + 54y + 68 = 0 # Tendrá una hipérbola para su gráfica.

¿Cómo puedo saber? Sólo una rápida comprobación de los coeficientes en el # x ^ 2 # y el # y ^ 2 # los términos dirán …

1) Si los coeficientes son tanto el mismo número como el mismo signo, la figura será un círculo.

2) Si los coeficientes son números diferentes pero el mismo signo, la cifra será una elipse.

3) Si los coeficientes son de signos opuestos, la gráfica será una hipérbola.

Vamos a "resolverlo": # -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 #

Tenga en cuenta que ya he tomado en cuenta los coeficientes principales y que he reunido los términos que tienen la misma variable.

# -1 (x ^ 2 + 4x + 4) +9 (y ^ 2 + 6y + 9) = -68 + -1 (4) + 9 (9) #

En este paso, completé el cuadrado agregando 4 y 9 dentro de los paréntesis, pero luego agregué al otro lado, esos números multiplicados por los números calculados -1 y 9.

# -1 (x + 2) ^ 2 + 9 (y + 3) ^ 2 = 9 # Reescriba en formas factorizadas a la izquierda.

# -1 (x + 2) ^ 2/9 + (y + 3) ^ 2/1 = 1 # lo que parece incómodo … así que cambiaré el orden y haré que parezca una resta:

# (y + 3) ^ 2- (x + 2) / 9 = 1 #

Eso es lo que quería ver; Puedo decir cuál es el centro de la hipérbola (-2, -3), a qué distancia del centro para llegar a los vértices (arriba y abajo 1 unidad ya que el término y está dividido por 1) y la pendiente de las asíntotas. (#+-1/3#). La "planitud" de esta pendiente, además de la apertura hacia arriba y hacia abajo de las curvas, hará que este gráfico esté bastante abierto.