Sea f una función continua: a) Encuentre f (4) si _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx para todo x. b) Encuentra f (4) si _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx para todas las x?

Responder:

una) #f (4) = pi / 2 #; segundo) #f (4) = 0 #

Explicación:

una) Diferenciar ambos lados.

A través del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo en el lado izquierdo y las reglas del producto y la cadena en el lado derecho, vemos que la diferenciación revela que:

#f (x ^ 2) * 2x = sen (pix) + pixcos (pix) #

Dejando # x = 2 # muestra que

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

segundo) Integrar el término interior.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Evaluar.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Dejar # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #