Rango de e ^ x / ([x] +1), x> 0 y donde [x] denota el mayor entero?

Responder:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Explicación:

Asumo #X# es el entero más pequeño más grande que #X#. En la siguiente respuesta, utilizaremos la notación. #ceil (x) #, llamada la función de techo.

Dejar #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Ya que #X# es estrictamente más grande que #0#, esto significa que el dominio de #F# es # (0, + oo) #.

Como #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # y desde # e ^ x # siempre es positivo, #F# siempre es estrictamente más grande que #0# en su dominio. Es importante tener en cuenta que #F# es no inyectiva y tampoco es continua en los números naturales. Para probar esto, vamos #norte# ser un número natural

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Porque #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Similar, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Dado que los límites del lado izquierdo y derecho no son iguales, #F# No es continuo en los enteros. También, #L> R # para todos #n en NN #.

Como #F# aumenta en intervalos limitados por los enteros positivos, los "valores más pequeños" por intervalo serán como #X# Se acerca al límite inferior desde la derecha.

Por lo tanto, el valor mínimo de #F# va a ser

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Este es el límite inferior del rango de #F#.

Si bien no es realmente correcto decir eso #F# está aumentando, es en el sentido, asintóticamente, se acerca al infinito, como se demuestra a continuación:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Como #ceilx> = x #, existe un #delta <1 # tal que # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Dejar #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # aumenta exponencialmente mientras # u # lo hace de forma lineal, lo que significa que

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Por lo tanto el rango de #F# es

# "Rango" = (1/2, oo) #

El intervalo está abierto a la izquierda porque #http: // 2 # es todavía #f (0) #, y como #X# enfoques #0^+#, #f (x) # solo enfoques #http: // 2 #; nunca es verdaderamente igual.